중1 수학 핵심개념, 정수와 유리수

중학교 1학년이 되면 초등학교에서 배웠던 자연수와 분수를 넘어 더 넓은 수의 세계인 '정수'와 '유리수'를 만나게 됩니다. 이 개념들은 앞으로의 수학 학습을 위한 중요한 토대가 됩니다. 이 글에서는 정수와 유리수의 핵심 개념과 활용법을 쉽게 설명해 드리겠습니다.

수의 확장: 자연수에서 유리수까지

수의 종류 포함하는 수 예시 학습 시기

자연수	셀 수 있는 수	1, 2, 3, ...	초등학교
정수	자연수 + 0 + 음의 정수	..., -2, -1, 0, 1, 2, ...	중1
유리수	정수 + 분수 형태의 수	1/2, -3/4, 0.75, ...	중1
실수	유리수 + 무리수	π, √2, ...	중2~3

정수란 무엇인가?

정수는 자연수, 0, 음의 정수를 모두 포함하는 수입니다.

정수의 구성

• 양의 정수: 1, 2, 3, ... (자연수와 같음) ➕
• 0: 양수도 음수도 아닌 수 0️⃣
• 음의 정수: -1, -2, -3, ... ➖

정수는 수직선에서 0을 기준으로 양쪽에 균등하게 배치됩니다.

   -3  -2  -1   0   1   2   3
    |---|---|---|---|---|---|
  음의 정수    원점    양의 정수

유리수의 개념과 특징

유리수는 분수 형태 a/b (단, b≠0)로 표현할 수 있는 모든 수입니다.

유리수의 표현 방법

• 분수: 3/4, -5/2, 7/3
• 유한소수: 0.75, -2.5, 3.0
• 순환소수: 0.333...(=1/3), 0.090909...(=1/11)

유리수의 특징

• 모든 정수는 유리수입니다. (n = n/1)
• 모든 유리수는 유한소수 또는 순환소수로 표현됩니다.
• 유리수끼리의 사칙연산 결과도 항상 유리수입니다.

정수와 유리수의 사칙연산

정수의 사칙연산 규칙

덧셈과 뺄셈

• 같은 부호 더하기: 절댓값을 더하고 공통 부호 붙임 (예: 5 + 3 = 8, (-5) + (-3) = -8)
• 다른 부호 더하기: 큰 절댓값에서 작은 절댓값을 빼고, 큰 쪽의 부호 붙임 (예: 5 + (-3) = 2, (-5) + 3 = -2)
• 뺄셈: a - b = a + (-b)로 바꿔서 계산 (예: 5 - 3 = 5 + (-3) = 2, 5 - (-3) = 5 + 3 = 8)

곱셈과 나눗셈

• 같은 부호: 결과는 양수 (예: (-3) × (-4) = 12)
• 다른 부호: 결과는 음수 (예: 5 × (-3) = -15)
• 0 포함: a × 0 = 0, 0 ÷ a = 0, a ÷ 0은 정의되지 않음

유리수의 사칙연산

분수의 덧셈과 뺄셈

• 분모가 같을 때: 분자만 더하거나 빼기 (예: 2/7 + 3/7 = 5/7)
• 분모가 다를 때: 통분 후 계산 (예: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6)

분수의 곱셈과 나눗셈

• 곱셈: 분자끼리, 분모끼리 곱하기 (예: (2/3) × (5/7) = 10/21)
• 나눗셈: 두 번째 분수의 역수와 곱하기 (예: (3/5) ÷ (2/7) = (3/5) × (7/2) = 21/10)

정수와 유리수의 크기 비교

정수 비교

• 수직선에서 오른쪽에 있는 수가 더 큽니다.
• 양수는 항상 0보다 크고, 음수는 항상 0보다 작습니다.
• 음수는 절댓값이 클수록 더 작은 수입니다. (예: -5 < -3)

유리수 비교

• 같은 분모: 분자를 비교 (예: 2/5 < 3/5)
• 다른 분모: 통분 후 분자 비교 (예: 2/3 > 3/5, 통분하면 10/15 > 9/15)
• 소수: 자릿수별로 비교 (예: 0.75 < 0.8)

실생활에서의 활용

정수의 활용

• 온도: 영상 10°C(+10), 영하 5°C(-5) 🌡️
• 고도: 해발 300m(+300), 해저 100m(-100) 🏔️
• 은행 거래: 입금 5만원(+5만원), 출금 3만원(-3만원) 💰
• 층수: 5층(+5), 지하 2층(-2) 🏢

유리수의 활용

• 요리법: 밀가루 3/4컵, 설탕 1.5스푼 🍳
• 시간: 1시간 30분 = 1.5시간 = 3/2시간 ⏱️
• 할인율: 30% 할인 = 0.3 할인 = 3/10 할인 🏷️
• 성적: 85.5점, 4.3/5.0 학점 📝

자주 틀리는 문제 유형

1. 정수 계산 실수

• ❌ 5 + (-3) = -8 → ✅ 5 + (-3) = 2
• ❌ (-3) × (-4) = -12 → ✅ (-3) × (-4) = 12
• ❌ -7 - 4 = -3 → ✅ -7 - 4 = -11

2. 분수 계산 실수

• ❌ 1/3 + 1/2 = 2/5 → ✅ 1/3 + 1/2 = 5/6
• ❌ 3/5 + 2/5 = 5/10 → ✅ 3/5 + 2/5 = 5/5 = 1

3. 비교 실수

• ❌ -5 > -3 (절댓값으로 비교) → ✅ -5 < -3
• ❌ 1/4 > 1/3 (분모로 비교) → ✅ 1/4 < 1/3

재미있는 사실

1. 어떤 두 정수 사이에도 무한히 많은 유리수가 존재합니다.
2. 모든 순환소수는 분수로 표현할 수 있습니다. (예: 0.999... = 1)
3. 음수 개념은 17세기에 들어서야 정식으로 인정받기 시작했습니다.

FAQ

Q: 0은 양수인가요, 음수인가요? A: 0은 양수도 음수도 아닙니다. 양수와 음수를 구분하는 기준점입니다.

Q: 모든 소수는 유리수인가요? A: 아니요. 유한소수와 순환소수만 유리수입니다. π나 √2와 같은 무한소수이면서 순환하지 않는 소수는 무리수입니다.

마무리

정수와 유리수는 중학교 수학의 기초 개념으로, 일상생활에서도 다양하게 활용됩니다. 이 개념을 확실히 이해하면 이후 배우게 될 방정식, 함수 등의 개념도 더 쉽게 접근할 수 있습니다. 기초를 탄탄히 다져서 수학의 더 높은 개념을 배우는 데 도움이 되길 바랍니다!